Лекция 4.

Непрерывность функций

1. Непрерывность функции в точке

Определение 1. Пусть функция y =f (x ) определена в точке х 0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y =f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

Таким образом, условие непрерывности функции y =f (x ) в точке х 0 состоит в том, что:

Так как
, то равенство (32) можно записать в виде

(33)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f (x ) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f (x ) вместо аргумента х подставить его предельное значение х 0 .

lim sin x =sin(lim x );

lim arctg x =arctg (lim x ); (34)

lim lоg x =lоg (lim x ).

Задание. Найти предел: 1) ; 2)
.

Дадим определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Т.к. условия и
одинаковы (рис.4), то равенство (32) принимает вид:

или
.

Определение 2. Функция y =f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если она определена в точке х 0 и её окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Задание. Исследовать на непрерывность функцию y =2х 2 1.

Свойства функций, непрервных в точке

1. Если функции f (x ) и φ (x ) непрерывны в точке х 0 , то их сумма
, произведение
и частное
(при условии
) являются функциями, непрерывными в точке х 0 .

2. Если функция у =f (x ) непрерывна в точке х 0 и f (x 0)>0, то существует такая окрестность точки х 0 , в которой f (x )>0.

3. Если функция у =f (u ) непрерывна в точке u 0 , а функция u=φ (x ) непрерывна в точке u 0 =φ (x 0 ), то сложная функция y =f [φ (x )] непрерывна в точке х 0 .

2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция y =f (x ) называется непрерывной в интервале (a ; b ), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y =f (x ) называется непрерывной на отрезке [a ; b ], если она непрерывна в интервале (a ; b ), и в точке х =а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x =b непрерывна слева (т.е.
).

3. Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если х =х 0  точка разрыва функции y =f (x ), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции.

Пример.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼Точка разрыва х 0 называется точкой разрыва первого рода функции y =f (x ), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е.
и
. При этом:

Величину |A 1 -A 2 | называют скачком функции в точке разрыва первого рода. ▲

▼Точка разрыва х 0 называется точкой разрыва второго рода функции y =f (x ), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. ▲

Задание. Найти точки разрыва и выяснить их тип для функций:

1)
; 2)
.

4. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель не равен нулю).

Теорема 2. Пусть функции u =φ (x ) непрерывна в точке х 0 , а функция y =f (u ) непрерывна в точке u =φ (x 0 ). Тогда сложная функция f (φ (x )), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х 0 .

Теорема 3. Если функция y =f (x ) непрерывна и строго монотонна на [a ; b ] оси Ох , то обратная функция у =φ (x ) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c ;d ] оси Оу.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на отрезке.

Теорема Больцано-Коши. Если функция y =f (x ) непрерывна на отрезке [a ; b ] и принимает на его концах неравные значения f (a )=A и f (b )=B ,
, то каково бы ни было число С , заключённое между А и В, найдётся точка такая, что f (c )=C .

Геометрически теорема очевидна. Для любого числа С , заключённого между А и В , найдётся точка с внутри этого отрезка такая, что f (С )=C . Прямая у =С пересечёт график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие. Если функция y =f (x ) непрерывна на отрезке [a ; b ] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка [a ; b ] найдётся хотя бы одна точка с , в которой функция y =f (x ) обращается в нуль: f (c )=0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох .

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х 0 , называется непрерывной в точке х 0 , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х 0 , но не является непрерывной в самой точке х 0 , то она называется разрывной функцией, а точка х 0 – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

y

0 x 0 - x 0 x 0 + x

Пример разрывной функции:

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х 0 , если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство
.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х 0 , если приращение функции в точке х 0 является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x 0) + (x)

где (х) – бесконечно малая при хх 0 .

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х 0 функций – есть функция, непрерывная в точке х 0 .

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х 0 .

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х 0 , то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.

Непрерывность некоторых элементарных функций.

1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.

2) Рациональная функция
непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

3) Тригонометрические функции sinиcosнепрерывны на своей области определения.

Докажем свойство 3 для функции y = sinx.

Запишем приращение функции y = sin(x + x) – sinx, или после преобразования:

Действительно, имеется предел произведения двух функций
и
. При этом функция косинус – ограниченная функция прих0
, а т.к.

предел функции синус
, то она является бесконечно малой прих0.

Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция у – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х 0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.

Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х 0 , за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х 0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

, то функция называется непрерывной справа.

Если односторонний предел (см. выше)
, то функция называется непрерывной слева.

Определение. Точка х 0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х 0 или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х 0 называется точкой разрыва 1- го рода , если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х 0 , достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х 0 называется точкой разрыва 2 – го рода , если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке) , если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие –M  f(x)  M.

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х 0 , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х 0 , то образуется некоторая окрестность точки х 0 .

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х 1 и х 2 , что f(x 1) = m, f(x 2) = M, причем

m  f(x)  M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х 0 , то существует некоторая окрестность точки х 0 , в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

Т.е. если sign(f(a))  sign(f(b)), то  х 0: f(x 0) = 0.

Пример.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

у

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

Определение непрерывности по Гейне

Говорят, что функция действительного переменного \(f\left(x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb{R}\) (\(\mathbb{R}-\)множество действительных чисел), если для любой последовательности \(\left\{ {{x_n}} \right\}\), такой, что \[\lim\limits_{n \to \infty } {x_n} = a,\] выполняется соотношение \[\lim\limits_{n \to \infty } f\left({{x_n}} \right) = f\left(a \right).\] На практике удобно использовать следующие \(3\) условия непрерывности функции \(f\left(x \right)\) в точке \(x = a\) (которые должны выполняться одновременно):

1. Функция \(f\left(x \right)\) определена в точке \(x = a\);
2. Предел \(\lim\limits_{x \to a} f\left(x \right)\) существует;
3. Выполняется равенство \(\lim\limits_{x \to a} f\left(x \right) = f\left(a \right)\).

Определение непрерывности по Коши (нотация \(\varepsilon - \delta\))

Рассмотрим функцию \(f\left(x \right)\), которая отображает множество действительных чисел \(\mathbb{R}\) на другое подмножество \(B\) действительных чисел. Говорят, что функция \(f\left(x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb{R}\), если для любого числа \(\varepsilon > 0\) существует число \(\delta > 0\), такое, что для всех \(x \in \mathbb{R}\), удовлетворяющих соотношению \[\left| {x - a} \right| Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции

Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке \(x = a\), если справедливо равенство \[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {f\left({a + \Delta x} \right) - f\left(a \right)} \right] = 0,\] где \(\Delta x = x - a\).

Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.

Функция является непрерывной на данном интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Теоремы непрерывности

Теорема 1.
Пусть функция \(f\left(x \right)\) непрерывна в точке \(x = a\) и \(C\) является константой. Тогда функция \(Cf\left(x \right)\) также непрерывна при \(x = a\).

Теорема 2.
Даны две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\), непрерывные в точке \(x = a\). Тогда сумма этих функций \({f\left(x \right)} + {g\left(x \right)}\) также непрерывна в точке \(x = a\).

Теорема 3.
Предположим, что две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\) непрерывны в точке \(x = a\). Тогда произведение этих функций \({f\left(x \right)} {g\left(x \right)}\) также непрерывно в точке \(x = a\).

Теорема 4.
Даны две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\), непрерывные при \(x = a\). Тогда отношение этих функций \(\large\frac{{f\left(x \right)}}{{g\left(x \right)}}\normalsize\) также непрерывно при \(x = a\) при условии, что \({g\left(a \right)} \ne 0\).

Теорема 5.
Предположим, что функция \({f\left(x \right)}\) является дифференцируемой в точке \(x = a\). Тогда функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).

Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ {a,b} \right]\), то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа \(m\) и \(M\), такие, что \ для всех \(x\) в интервале \(\left[ {a,b} \right]\) (рисунок 1).

Рис.1		Рис.2

Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ {a,b} \right]\). Тогда, если \(c\) − некоторое число, большее \({f\left(a \right)}\) и меньшее \({f\left(b \right)}\), то существует число \({x_0}\), такое, что \ Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.

Непрерывность элементарных функций

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Функция называется элементарной , если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием \(4\) действий - сложение, вычитание, умножение и деление) . Множество основных элементарных функций включает в себя:

Непрерывная функция представляет собой функцию без «скачков», то есть такую, для которой выполняется условие: малым изменениям аргумента следуют малые изменения соответствующих значений функции. График подобной функции представляет из себя плавную или непрерывную кривую.

Непрерывность в точке, предельной для некоторого множества, можно определить с помощью понятия предела, а именно: функция должна иметь в этой точке предел, который равен ее значению в предельной точке.

При нарушении этих условий в некоторой точке, говорят, что функция в данной точке терпит разрыв, то есть ее непрерывность нарушается. На языке пределов точку разрыва можно описать как несовпадение значения функции в разрывной точке с пределом функции (если он существует).

Точка разрыва может быть устранимой, для этого необходимо существование предела функции, но несовпадающего с его значением в заданной точке. В этом случае ее в этой точке можно «поправить», то есть доопределить до непрерывности.
Совсем иная картина складывается, если предела функции в заданной существует. Возможно два варианта точек разрыва:

• первого рода - имеются и конечны оба из односторонних пределов, и значение одного из них или обоих не совпадают со значением функции в заданной точке;
• второго рода, когда не существует один или оба из односторонних пределов или их значения бесконечны.

Свойства непрерывных функций

• Функция, полученная в результат арифметических действий, а также суперпозиции непрерывных функций на их области определения также является непрерывной.
• Если дана непрерывная функция, которая положительна в некоторой точке, то всегда можно найти достаточно малую ее окрестность, на которой она сохранит свой знак.
• Аналогично, если ее значения в двух точках A и B равны, соответственно, a и b, причем a отлично от b, то для промежуточных точек она примет все значения из промежутка (a ; b). Отсюда можно сделать интересное заключение: если дать растянутой резинке сжаться так, чтобы она не провисала (оставалась прямолинейной), то одна из ее точек останется неподвижной. А геометрически это означает, что существует прямая, проходящая через любую промежуточную точку между A и B, которая пересекает график функции.

Отметим некоторые из непрерывных (на области их определения) элементарных функций:

• постоянная;
• рациональная;
• тригонометрические.

Между двумя фундаментальными понятиями в математике - непрерывностью и дифференцируемостью - существует неразрывная связь. Достаточно только вспомнить, что для дифференцируемости функции необходимо, чтобы это была непрерывная функция.

Если же функция в некоторой точке дифференцируема, то там она непрерывна. Однако совсем не обязательно, чтобы и ее производная была непрерывной.

Функция, имеющая на некотором множестве непрерывную производную, принадлежит отдельному классу гладких функций. Иначе говоря, это - непрерывно дифференцируемая функция. Если же производная имеет ограниченное количество точек разрыва (только первого рода), то подобную функцию называют кусочно гладкой.

Еще одним важным понятием является равномерная непрерывность функции, то есть ее способность быть в любой точке своей области определения одинаково непрерывной. Таким образом, это свойство, которое рассматривается на множестве точек, а не в какой-либо отдельно взятой.

Если же зафиксировать точку, то получится не что иное, как определение непрерывности, то есть из наличия равномерной непрерывности вытекает, что перед нами непрерывная функция. Вообще говоря, обратное утверждение неверно. Однако согласно теореме Кантора, если функция непрерывна на компакте, то есть на замкнутом промежутке, то она на нем равномерно непрерывна.

Определение. Пусть функция у = f(x) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если:

1. существует
2. этот предел равен значению функции в точке x0:

При определении предела подчёркивалось, что f(x) может быть не определена в точке x0, а если она определена в этой точке, то значение f(x0) никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f(x0) существует, и это значение должно быть равно lim f(x).

Определение. Пусть функция у = f(х) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для всех ε>0 существует положительное число δ, такое что для всех x из δ-окрестности точки x0 (т.е. |х-x0|
Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f(x0), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости δ-окрестности 0
Дадим ещё одно (равносильное предыдущим) определение в терминах приращений. Обозначим Δх = x - x0, эту величину будем называть приращением аргумента. Так как х->x0, то Δх->0, т е. Δх - б.м. (бесконечно малая) величина. Обозначим Δу = f(х)-f(x0), эту величину будем называть приращением функции, так как |Δу| должно быть (при достаточно малых |Δх|) меньше произвольного числа ε>0, то Δу- тоже б.м. величина, поэтому

Определение. Пусть функция у = f(х) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция f(х) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение. Функция f(х), не являющаяся непрерывной в точке x0, называется разрывной в этой точке.

Определение. Функция f(х) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Теорема о непрерывности суммы, произведения, частного

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции

Теорема о непрерывности суперпозиции непрерывных функций

Пусть функция f(x) определена на отрезке и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

Теорема о промежуточном значении. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и в двух точках а и b (a меньше b) принимает неравные значения A = f(a) ≠ В = f(b), то для любого числа С, лежащего между А и В, найдётся точка c ∈ , в которой значение функции равно С: f(c) = C.

Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема о достижении минимального и максимального значений. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.

Теорема о непрерывности обратной функции. Пусть функция y=f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [а,b]. Тогда на отрезке существует обратная функция х = g(y), также монотонно возрастающая (убывающая) на и непрерывная.